Geometría: Matemática M2 PAES

Temas para estudiar

• Figuras geométricas: <h3>Figuras geométricas (M2)</h3> <b>Polígono regular de \(n\) lados:</b> <ul> <li>Ángulo interior: \(\dfrac{(n-2)\cdot180°}{n}\)</li> <li>Ángulo exterior: \(\dfrac{360°}{n}\)</li> </ul> <b>Área con trigonometría:</b> <div class="gm-formula">\[A_ riangle=\dfrac{1}{2}ab\sin(C)\]</div> <b>Arco y sector circular:</b> <ul> <li>Longitud de arco: \(L=r heta\) (\( heta\) en radianes)</li> <li>Área de sector: \(A=\dfrac{1}{2}r^2 heta\)</li> </ul> <div class="gm-tip">⚡ Ángulo central = arco · Ángulo inscrito = mitad del arco que subtiende.</div>
• Cuerpos geométricos: <h3>Cuerpos geométricos (M2)</h3> <b>Cilindro:</b> \(V=\pi r^2h\) · \(A_{ ext{total}}=2\pi r(r+h)\) <b>Cono:</b> \(V=\dfrac{\pi r^2h}{3}\) · generatriz \(l=\sqrt{r^2+h^2}\) <b>Esfera:</b> <div class="gm-formula">\[V=\dfrac{4\pi r^3}{3}\qquad A=4\pi r^2\]</div> <b>Secciones:</b> cortar un sólido con un plano produce figuras planas (círculo en cono, rectángulo en cilindro). <div class="gm-tip">⚡ La generatriz del cono usa Pitágoras: \(l=\sqrt{r^2+h^2}\). No confundas \(h\) (altura) con \(l\) (generatriz).</div>
• Transformaciones isométricas: <h3>Transformaciones isométricas (M2)</h3> <div class="gm-def">Conservan distancias y ángulos — la figura no se deforma.</div> <b>Reflexiones:</b> <ul> <li>Eje \(x\): \((x,y) o(x,-y)\)</li> <li>Eje \(y\): \((x,y) o(-x,y)\)</li> <li>Recta \(y=x\): \((x,y) o(y,x)\)</li> </ul> <b>Rotaciones respecto al origen:</b> <ul> <li>\(90°\): \((x,y) o(-y,x)\)</li> <li>\(180°\): \((x,y) o(-x,-y)\)</li> <li>\(270°\): \((x,y) o(y,-x)\)</li> </ul> <div class="gm-tip">⚡ Composición de dos reflexiones sobre rectas que se cruzan = una rotación de doble ángulo entre ellas.</div>
• Semejanza y proporcionalidad de figuras: <h3>Semejanza y proporcionalidad (M2)</h3> <div class="gm-def">Razón de semejanza \(k\): cociente de lados correspondientes.</div> <b>Escalas:</b> <ul> <li>Lados: \(k\)</li> <li>Áreas: \(k^2\)</li> <li>Volúmenes: \(k^3\)</li> </ul> <b>Altura sobre la hipotenusa:</b> <div class="gm-formula">\[h^2=m\cdot n\qquad a^2=m\cdot c\qquad b^2=n\cdot c\]</div> <div class="gm-tip">⚡ Criterios AA, LAL, LLL — solo necesitas <b>dos ángulos iguales</b> (AA) para confirmar semejanza.</div>
• Homotecia de figuras planas: <h3>Homotecia de figuras planas</h3> <div class="gm-def">Una homotecia de centro \(O\) y razón \(k\) transforma \(P\) en \(P'\): \[\overrightarrow{OP'}=k\cdot\overrightarrow{OP}\]</div> <b>Interpretación de \(k\):</b> <ul> <li>\(|k|>1\): ampliación</li> <li>\(|k|<1\): reducción</li> <li>\(k<0\): \(P'\) queda al lado opuesto de \(O\)</li> </ul> <b>Efectos:</b> <ul> <li>Lados × \(|k|\)</li> <li>Áreas × \(k^2\)</li> <li>Las rectas se transforman en <b>paralelas</b> a sí mismas (salvo las que pasan por \(O\))</li> </ul> <div class="gm-tip">⚡ Homotecia = semejanza. <b>No</b> es isométrica si \(|k| eq1\).</div>
• Razones trigonométricas en triángulos rectángulos: <h3>Razones trigonométricas</h3> <div class="gm-formula">\[\sin( heta)=\dfrac{ ext{cat. opuesto}}{ ext{hip.}}\quad\cos( heta)=\dfrac{ ext{cat. adyacente}}{ ext{hip.}}\quad an( heta)=\dfrac{\sin( heta)}{\cos( heta)}\]</div> <b>Valores clave:</b> <div class="gm-formula">\[egin{array}{|c|c|c|}\hline heta&\sin( heta)&\cos( heta)\\hline30°&1/2&\sqrt{3}/2\\hline45°&\sqrt{2}/2&\sqrt{2}/2\\hline60°&\sqrt{3}/2&1/2\\hline\end{array}\]</div> <b>Identidad fundamental:</b> \(\sin^2( heta)+\cos^2( heta)=1\) <div class="gm-tip">⚡ Memoriza el triángulo 30-60-90 con lados \(1:\sqrt{3}:2\) y el 45-45-90 con lados \(1:1:\sqrt{2}\).</div>
• Relaciones métricas en la circunferencia: <h3>Relaciones métricas en la circunferencia</h3> <b>Ángulos:</b> <ul> <li><b>Central \(lpha\):</b> igual al arco que subtiende</li> <li><b>Inscrito \(eta\):</b> \(eta=lpha/2\) — la mitad del arco</li> <li><b>Dos cuerdas interiores:</b> \( heta=\dfrac{ ext{arco}_1+ ext{arco}_2}{2}\)</li> </ul> <b>Potencia de un punto \(P\) interior:</b> <div class="gm-formula">\[PA\cdot PB=PC\cdot PD\]</div> <b>Tangente desde punto exterior \(P\):</b> <div class="gm-formula">\[PT^2=PA\cdot PB\]</div> <div class="gm-tip">⚡ El ángulo inscrito es siempre <b>la mitad</b> del central que subtiende el mismo arco.</div>
• Esferas, superficie y volumen: <h3>Esferas: superficie y volumen</h3> <div class="gm-formula">\[V=\dfrac{4}{3}\pi r^3\qquad A=4\pi r^2\]</div> <b>Sección a distancia \(d\) del centro:</b> <div class="gm-formula">\[r_{ ext{sec}}=\sqrt{R^2-d^2}\]</div> <b>Cilindro circumscrito a la esfera (\(R_{ ext{cil}}=R,\ h=2R\)):</b> <div class="gm-formula">\[\dfrac{V_{ ext{esfera}}}{V_{ ext{cilindro}}}=\dfrac{2}{3}\]</div> <div class="gm-tip">⚡ Una sección plana de una esfera es siempre un círculo. El radio del círculo disminuye cuanto más lejos del centro cortas.</div>
• Rectas en el plano: <h3>Rectas en el plano</h3> <div class="gm-def">Ecuación general: \(Ax+By+C=0\) · Pendiente: \(m=-A/B\)</div> <b>Posiciones relativas:</b> <ul> <li><b>Paralelas:</b> misma pendiente, distinto intercepto</li> <li><b>Perpendiculares:</b> \(m_1\cdot m_2=-1\)</li> <li><b>Coincidentes:</b> misma ecuación (salvo factor)</li> </ul> <b>Distancia punto-recta:</b> <div class="gm-formula">\[d=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\]</div> <div class="gm-tip">⚡ Para hallar la intersección de dos rectas, resuelve el sistema formado por ambas ecuaciones.</div>