Álgebra y Funciones: Matemática M2 PAES

Temas para estudiar

• Expresiones algebraicas: <h3>Expresiones algebraicas (M2)</h3> <b>Factorizaciones avanzadas:</b> <ul> <li>\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)</li> <li>\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)</li> </ul> <b>Fracciones algebraicas:</b> igual que numéricas, primero factoriza para simplificar. <b>Ruffini (división sintética):</b> cuando el divisor es \((x-r)\), evalúa \(p(r)\). <div class="gm-def"><b>Teorema del resto:</b> \(p(r)=0\iff(x-r)\) es factor de \(p(x)\).</div> <div class="gm-tip">⚡ Racionalización con conjugado: \(\dfrac{x}{\sqrt{x+1}-1}\cdot\dfrac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1}\) elimina la raíz del denominador.</div>
• Proporcionalidad: <h3>Proporcionalidad (M2)</h3> <div class="gm-def"> <b>Directa:</b> \(y=kx\) — gráfica: recta por el origen.<br> <b>Inversa:</b> \(y=k/x\) — gráfica: hipérbola. </div> <b>Proporcionalidad compuesta:</b> si \(z\propto x\) y \(z\propto1/y\): <div class="gm-formula">\[z=k\cdot\dfrac{x}{y}\]</div> <b>Distancia-velocidad-tiempo:</b> <div class="gm-formula">\[d=v\cdot t\]</div> <div class="gm-tip">⚡ A igual distancia, velocidad y tiempo son <b>inversamente proporcionales</b>: si doblas la velocidad, el tiempo se divide a la mitad.</div>
• Ecuaciones e inecuaciones de primer grado: <h3>Ecuaciones e inecuaciones de primer grado (M2)</h3> <b>Con valor absoluto:</b> <ul> <li>\(|ax+b|=c\Rightarrow ax+b=c\) o \(ax+b=-c\)</li> <li>\(|ax+b|<c\Rightarrow -c<ax+b<c\)</li> </ul> <b>Sistemas de inecuaciones:</b> <div class="gm-formula">\[egin{cases}x>2\x\leq5\end{cases}\Rightarrow x\in(2,\,5]\]</div> <div class="gm-tip">⚡ <b>Regla de oro:</b> al multiplicar o dividir por número <b>negativo</b>, el signo de la inecuación se invierte.<br> \(-2x>6\Rightarrow x<-3\)</div>
• Sistemas de ecuaciones lineales (2x2): <h3>Sistemas de ecuaciones lineales 2×2</h3> <div class="gm-formula">\[egin{cases}a_1x+b_1y=c_1\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}\]</div> <b>Método de Cramer:</b> <div class="gm-formula">\[D=a_1b_2-a_2b_1,\quad x=\dfrac{D_x}{D},\quad y=\dfrac{D_y}{D}\]</div> <b>Clasificación:</b> <ul> <li>\(D eq0\): una solución (sistema compatible)</li> <li>\(D=0,\ D_x=D_y=0\): infinitas soluciones</li> <li>\(D=0,\ D_x eq0\): sin solución (incompatible)</li> </ul> <div class="gm-tip">⚡ En PAES lo clave es plantear bien las dos ecuaciones desde el enunciado — luego la resolución es mecánica.</div>
• Función lineal y afín: <h3>Función lineal y afín (M2)</h3> <div class="gm-def">\(f(x)=mx+b\) — recta con pendiente \(m\) e intercepto \(b\).</div> <b>Formas de la ecuación de la recta:</b> <ul> <li>Pendiente-intercepto: \(y=mx+b\)</li> <li>Punto-pendiente: \(y-y_0=m(x-x_0)\)</li> <li>General: \(Ax+By+C=0\)</li> </ul> <b>Distancia de un punto a una recta:</b> <div class="gm-formula">\[d=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\]</div> <div class="gm-tip">⚡ <b>Paralelas:</b> igual pendiente · <b>Perpendiculares:</b> \(m_1\cdot m_2=-1\)</div>
• Función cuadrática: <h3>Función cuadrática (M2)</h3> <div class="gm-def">\(f(x)=ax^2+bx+c\) — parábola. Abre ↑ si \(a>0\), ↓ si \(a<0\).</div> <b>Vértice:</b> <div class="gm-formula">\[x_v=-\dfrac{b}{2a},\qquad y_v=f(x_v)\]</div> <b>Forma canónica:</b> \(f(x)=a(x-h)^2+k\) con vértice \((h,k)\) <b>Discriminante \(\Delta=b^2-4ac\):</b> <ul> <li>\(\Delta>0\): 2 raíces reales distintas</li> <li>\(\Delta=0\): 1 raíz doble (vértice sobre eje \(x\))</li> <li>\(\Delta<0\): sin raíces reales</li> </ul> <div class="gm-tip">⚡ <b>Vieta:</b> \(r_1+r_2=-b/a\) y \(r_1\cdot r_2=c/a\). Úsalo para factorizar sin calculadora.</div>
• Función potencia, exponencial y logarítmica: <h3>Funciones: potencia, exponencial y logarítmica</h3> <b>Exponencial \(f(x)=b^x\):</b> <ul> <li>\(b>1\) → creciente · \(0<b<1\) → decreciente</li> <li>Siempre positiva, dominio \(\mathbb{R}\)</li> </ul> <b>Logarítmica \(f(x)=\log_b x\):</b> <ul> <li>Inversa de la exponencial</li> <li>Dominio \((0,+\infty)\), imagen \(\mathbb{R}\)</li> <li>Pasa siempre por \((1,0)\)</li> </ul> <div class="gm-def">Son simétricas respecto a \(y=x\) — una es la inversa de la otra.</div> <div class="gm-tip">⚡ Crecimiento exponencial modela: poblaciones, interés compuesto, desintegración radioactiva.</div>
• Funciones Trigonométricas: <h3>Funciones trigonométricas</h3> <div class="gm-formula">\[\sin( heta)=\dfrac{ ext{opuesto}}{ ext{hipotenusa}},\quad\cos( heta)=\dfrac{ ext{adyacente}}{ ext{hipotenusa}},\quad an( heta)=\dfrac{\sin( heta)}{\cos( heta)}\]</div> <b>Valores notables:</b> <div class="gm-formula">\[egin{array}{|c|c|c|c|}\hline heta&\sin&\cos& an\\hline30°&rac{1}{2}&rac{\sqrt{3}}{2}&rac{1}{\sqrt{3}}\\hline45°&rac{\sqrt{2}}{2}&rac{\sqrt{2}}{2}&1\\hline60°&rac{\sqrt{3}}{2}&rac{1}{2}&\sqrt{3}\\hline\end{array}\]</div> <b>Identidad fundamental:</b> \(\sin^2( heta)+\cos^2( heta)=1\) <b>Leyes para triángulos generales:</b> <ul> <li>Senos: \(\dfrac{a}{\sin(A)}=\dfrac{b}{\sin(B)}\)</li> <li>Coseno: \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos(C)\)</li> </ul>