Probabilidad y Estadística: Matemática M2 PAES

Temas para estudiar

• Representación de datos a través de tablas y gráficos: <h3>Representación de datos (M2)</h3> <b>Histograma:</b> el área de cada barra es proporcional a la frecuencia (no el ancho). <b>Boxplot — 5 valores clave:</b> <ul> <li>Mínimo · \(Q_1\) · Mediana · \(Q_3\) · Máximo</li> <li><b>Rango intercuartil:</b> \(RIC=Q_3-Q_1\)</li> <li><b>Outlier:</b> fuera de \([Q_1-1{,}5\cdot RIC,\ Q_3+1{,}5\cdot RIC]\)</li> </ul> <b>Diagrama de dispersión:</b> muestra correlación entre dos variables. <div class="gm-tip">⚡ Histograma simétrico → media = mediana. Sesgado a la derecha → media queda <b>a la derecha</b> de la mediana.</div>
• Medidas de posición: <h3>Medidas de posición (M2)</h3> <div class="gm-def"> <b>Media:</b> \(ar{x}=\dfrac{\sum x_i}{n}\)&nbsp;&nbsp;·&nbsp;&nbsp;<b>Media ponderada:</b> \(ar{x}=\dfrac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}\) </div> <b>Percentil \(P_k\):</b> valor que deja el \(k\%\) debajo. <b>Efecto de transformaciones:</b> <ul> <li>Sumar \(c\) a todos: media y mediana suben \(c\), dispersión sin cambio</li> <li>Multiplicar por \(k\): media, mediana y desviación se multiplican por \(|k|\)</li> </ul> <div class="gm-tip">⚡ La <b>mediana</b> es resistente a outliers. Si hay datos extremos, úsala como representante del grupo.</div>
• Reglas de las probabilidades: <h3>Probabilidades (M2)</h3> <div class="gm-formula">\[P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}\qquad 0\leq P(A)\leq1\]</div> <b>Reglas:</b> <ul> <li><b>Complemento:</b> \(P(A^c)=1-P(A)\)</li> <li><b>Unión:</b> \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)</li> <li><b>Independientes:</b> \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\)</li> </ul> <b>Teorema de Bayes:</b> <div class="gm-formula">\[P(A\mid B)=\dfrac{P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}\]</div> <div class="gm-tip">⚡ La probabilidad total: \(P(B)=\sum_i P(B\mid A_i)\cdot P(A_i)\)</div>
• Medidas de dispersión: <h3>Medidas de dispersión</h3> <div class="gm-def"> <b>Varianza:</b> \(s^2=\dfrac{\sum(x_i-ar{x})^2}{n}\)<br> <b>Desviación estándar:</b> \(s=\sqrt{s^2}\) — misma unidad que los datos </div> <b>Efecto de transformaciones:</b> <ul> <li>Sumar constante \(c\): <b>no cambia</b> la desviación</li> <li>Multiplicar por \(k\): desviación × \(|k|\), varianza × \(k^2\)</li> </ul> <b>Rango intercuartil:</b> \(RIC=Q_3-Q_1\) — resistente a outliers. <div class="gm-tip">⚡ Desviación estándar pequeña = datos concentrados cerca de la media. Grande = datos muy dispersos.</div>
• Probabilidad condicional: <h3>Probabilidad condicional</h3> <div class="gm-formula">\[P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\]</div> <div class="gm-def"><b>Independencia:</b> \(A\) y \(B\) son independientes si \(P(A\mid B)=P(A)\), o equivalentemente \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\).</div> <b>Regla de la multiplicación (dependientes):</b> <div class="gm-formula">\[P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)\]</div> <b>Árbol de probabilidades:</b> multiplica por la rama, suma entre ramas. <div class="gm-tip">⚡ <b>"Sin reposición"</b> → dependiente (la probabilidad cambia después del primer extracción). <b>"Con reposición"</b> → independiente.</div>
• Permutación y combinatoria: <h3>Permutación y combinatoria</h3> <div class="gm-def"><b>Principio multiplicativo:</b> \(m\) opciones × \(n\) opciones = \(m\cdot n\) posibilidades.</div> <b>Permutaciones</b> (el orden importa): <div class="gm-formula">\[P(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!}\]</div> <b>Combinaciones</b> (el orden no importa): <div class="gm-formula">\[inom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}\]</div> <b>Identidades útiles:</b> <ul> <li>\(inom{n}{r}=inom{n}{n-r}\)</li> <li>\(inom{n}{0}=inom{n}{n}=1\)</li> </ul> <div class="gm-tip">⚡ ¿Importa el orden? Sí → permutación. No → combinación. Ej: equipos de trabajo → combinación; podio 1°-2°-3° → permutación.</div>
• Modelos probabilísticos: <h3>Modelos probabilísticos</h3> <b>Distribución Binomial</b> — \(n\) ensayos independientes, prob. de éxito \(p\): <div class="gm-formula">\[P(X=k)=inom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\]</div> <ul> <li>Esperanza: \(E(X)=np\)</li> <li>Varianza: \( ext{Var}(X)=np(1-p)\)</li> </ul> <b>Variable aleatoria:</b> <div class="gm-formula">\[E(X)=\sum x_i\cdot P(X=x_i)\]</div> <div class="gm-tip">⚡ Identifica: "exactamente \(k\) de \(n\) cosas del tipo X" → <b>Binomial</b> con \(n\), \(k\) y \(p\).</div>