Números: Matemática M2 PAES

Temas para estudiar

• Conjunto de los números enteros y racionales: <h3>Números enteros y racionales (M2)</h3> <div class="gm-def"><b>Racionales \(\mathbb{Q}\):</b> todo lo que se escribe como \(\dfrac{p}{q}\) con \(q eq0\).<br> Incluye decimales exactos y periódicos.</div> <b>Operaciones con fracciones:</b> <div class="gm-formula">\[\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad+bc}{bd}\qquad\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}\]</div> <b>Jerarquía:</b> \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\) <div class="gm-tip">⚡ Todo número racional tiene decimal exacto o periódico. Si el decimal no termina ni se repite, es irracional.</div>
• Porcentaje: <h3>Porcentaje (M2)</h3> <div class="gm-formula">\[p\% ext{ de }N = N\cdot\dfrac{p}{100}\]</div> <b>Variaciones sucesivas</b> — se multiplican los factores: <div class="gm-formula">\[N_{ ext{final}}=N\cdot\left(1+\dfrac{a}{100} ight)\left(1-\dfrac{b}{100} ight)\]</div> <b>Variación porcentual total:</b> <div class="gm-formula">\[\Delta\%=\dfrac{N_f-N_i}{N_i} imes100\]</div> <b>Interés simple:</b> \(M=C(1+rt)\) &nbsp;·&nbsp; <b>Compuesto:</b> \(M=C(1+r)^t\) <div class="gm-tip">⚡ Para encontrar el valor original antes de un aumento del 20%, divide por \(1{,}2\).</div>
• Potencias y raíces enésimas: <h3>Potencias y raíces enésimas (M2)</h3> <div class="gm-def">\[a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a} ight)^m\]</div> <b>Propiedades:</b> <ul> <li>\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)</li> <li>\((a^m)^n=a^{mn}\)</li> <li>\(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\)</li> </ul> <b>Racionalización:</b> <ul> <li>\(\dfrac{1}{\sqrt{a}}=\dfrac{\sqrt{a}}{a}\)</li> <li>\(\dfrac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}\) (conjugado)</li> </ul> <div class="gm-tip">⚡ En ecuaciones con raíces: aisla la raíz, eleva al cuadrado, y <b>verifica</b> — puede aparecer solución espuria.</div>
• Conjunto de los números reales: <h3>Conjunto de los números reales</h3> <div class="gm-def">\(\mathbb{R}\) incluye racionales e <b>irracionales</b> (no expresables como fracción):<br> \(\pipprox3{,}14159\ldots\), \(\sqrt{2}pprox1{,}414\ldots\), \(epprox2{,}718\ldots\)</div> <b>Intervalos:</b> <ul> <li>\([a,b]\): cerrado — incluye los extremos</li> <li>\((a,b)\): abierto — no incluye extremos</li> <li>\([a,b)\): semiabierto</li> </ul> <b>Valor absoluto:</b> <div class="gm-formula">\[|x|=egin{cases}x& ext{si }x\geq0\-x& ext{si }x<0\end{cases}\]</div> <div class="gm-tip">⚡ \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\). Entre dos reales siempre hay otro real (densidad).</div>
• Matemática financiera: <h3>Matemática financiera</h3> <div class="gm-def"> <b>Interés simple:</b> siempre sobre el capital inicial.<br> <div class="gm-formula">\[M=C_0(1+r\cdot t)\]</div> <b>Interés compuesto:</b> se capitaliza cada período.<br> <div class="gm-formula">\[M=C_0(1+r)^t\]</div> </div> <b>Valor presente / futuro:</b> <div class="gm-formula">\[VP=\dfrac{VF}{(1+r)^t}\]</div> <div class="gm-tip">⚡ En PAES casi siempre es interés compuesto. Identifica \(C_0\) (capital), \(r\) (tasa por período) y \(t\) (número de períodos).</div>
• Logaritmos: <h3>Logaritmos</h3> <div class="gm-def">\[\log_b a=c\iff b^c=a\quad(b>0,\ b eq1,\ a>0)\]</div> <b>Propiedades:</b> <ul> <li>\(\log_b(xy)=\log_b x+\log_b y\)</li> <li>\(\log_b\!\left(\dfrac{x}{y} ight)=\log_b x-\log_b y\)</li> <li>\(\log_b(x^n)=n\cdot\log_b x\)</li> <li>\(\log_b b=1\qquad\log_b 1=0\)</li> </ul> <b>Cambio de base:</b> <div class="gm-formula">\[\log_b a=\dfrac{\log a}{\log b}\]</div> <div class="gm-tip">⚡ Para resolver \(\log_2(x+1)=3\): aplica exponencial → \(x+1=2^3=8\) → \(x=7\).</div>