Números reales: racionales, irracionales y aproximación
Los números reales reúnen a los racionales y a los irracionales. En PAES M2
debes reconocerlos, compararlos y usar aproximaciones con sentido en un
problema. Un racional puede escribirse como fracción de enteros; un irracional
no tiene decimal finito ni periódico.
| Número | Tipo | Representación decimal |
|---|---|---|
| (\frac{7}{4}) | racional | (1,75) |
| (\sqrt{2}) | irracional | (1,4142\ldots) |
| (\pi) | irracional | (3,1415\ldots) |
Cómo comparar sin calculadora
Para ubicar (\sqrt{n}), busca cuadrados perfectos cercanos. Como
(1^2<2<2^2), se cumple (1<\sqrt2<2). Además, (1,4^2=1,96<2),
por lo que (\sqrt2>1,4). Estas cotas suelen bastar para ordenar opciones.
Ejemplo PAES
Un lado mide (\sqrt{50}) cm. Se puede simplificar:
(\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt2\approx7,07) cm. La igualdad es
exacta antes de aproximar; conserva (5\sqrt2) si el problema no pide un
decimal.
Errores comunes
- Concluir que todo decimal infinito es irracional: (0,333\ldots) es racional.
- Afirmar que (\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b): no es una propiedad válida.
- Redondear demasiado pronto y perder precisión en un cálculo posterior.