PREPARACIÓN PAES
Álgebra y Funciones: Matemática M1 PAES
Aprende los temas del eje Álgebra y Funciones para Matemática M1.
Practicar con ensayos PAES →Temas para estudiar
- Expresiones algebraicas: <h3>Expresiones algebraicas</h3> <div class="gm-def"><b>Monomio:</b> un solo término, ej. \(3x^2y\)<br> <b>Polinomio:</b> suma de monomios, ej. \(2x^2-5x+1\)</div> <b>Suma/resta:</b> solo se combinan <b>términos semejantes</b> (misma variable y exponente). <b>Productos notables:</b> <ul> <li>\((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\)</li> <li>\((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\)</li> <li>\((a+b)(a-b) = a^2-b^2\)</li> </ul> <b>Factorización:</b> <ul> <li>Factor común: \(6x^2+9x = 3x(2x+3)\)</li> <li>Diferencia de cuadrados: \(x^2-9=(x+3)(x-3)\)</li> </ul> <div class="gm-tip">⚡ Factorizar es lo contrario a multiplicar — busca qué factor sale en común.</div>
- Proporcionalidad: <h3>Proporcionalidad</h3> <div class="gm-def"><b>Directa:</b> \(y=kx\) — al duplicar \(x\), \(y\) se duplica.<br> <b>Inversa:</b> \(y=\dfrac{k}{x}\) — al duplicar \(x\), \(y\) se divide a la mitad.</div> <b>Proporcionalidad directa:</b> <div class="gm-formula">\[\dfrac{y_1}{x_1}=\dfrac{y_2}{x_2}=k\]</div> <b>Proporcionalidad inversa:</b> <div class="gm-formula">\[x_1\cdot y_1 = x_2\cdot y_2 = k\]</div> <b>Regla de tres simple:</b> si \(a\to b\) y \(c\to x\): \(\quad x=\dfrac{b\cdot c}{a}\) <div class="gm-tip">⚡ Para saber si es directa o inversa: ¿al aumentar \(x\), \(y\) también aumenta (directa) o disminuye (inversa)?</div>
- Ecuaciones e inecuaciones de primer grado: <h3>Ecuaciones e inecuaciones de primer grado</h3> <div class="gm-def"><b>Ecuación lineal:</b> \(ax+b=0 \Rightarrow x=-\dfrac{b}{a}\)<br> Despeja la variable aplicando la misma operación a ambos lados.</div> <b>Inecuaciones:</b> igual que ecuaciones, pero con \(<,\leq,>,\geq\). <div class="gm-tip">⚡ <b>Regla de oro:</b> si multiplicas o divides por un número <b>negativo</b>, el signo de la inecuación se invierte.<br> Ej: \(-2x > 6 \Rightarrow x < -3\)</div> <b>En la recta numérica:</b> <ul> <li>\(<\) o \(>\) → círculo abierto ○</li> <li>\(\leq\) o \(\geq\) → círculo cerrado ●</li> </ul>
- Sistemas de ecuaciones lineales (2x2): <h3>Sistemas de ecuaciones lineales (2×2)</h3> <div class="gm-formula">\[\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}\]</div> <b>Método de sustitución:</b> <ol style="padding-left:1.2rem"> <li>Despeja una variable en una ecuación.</li> <li>Sustitúyela en la otra y resuelve.</li> <li>Vuelve a sustituir para hallar la segunda variable.</li> </ol> <b>Método de eliminación:</b> <div class="gm-formula">\[\begin{cases}x+y=5\\x-y=1\end{cases}\xrightarrow{+}2x=6\Rightarrow x=3,\ y=2\]</div> <div class="gm-tip">⚡ Soluciones posibles: <b>una</b> (rectas que se cruzan) · <b>infinitas</b> (misma recta) · <b>ninguna</b> (paralelas)</div>
- Función lineal y afín: <h3>Función lineal y afín</h3> <div class="gm-def"><b>Función afín:</b> \(f(x)=mx+b\)<br> \(m\) = pendiente · \(b\) = intercepto (valor cuando \(x=0\))</div> <b>Pendiente:</b> <div class="gm-formula">\[m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]</div> <ul> <li>\(m>0\) → recta creciente</li> <li>\(m<0\) → recta decreciente</li> <li>\(m=0\) → recta horizontal</li> </ul> <b>Ecuación dados dos puntos:</b> \(y-y_1=m(x-x_1)\) <div class="gm-tip">⚡ <b>Paralelas:</b> igual pendiente · <b>Perpendiculares:</b> \(m_1\cdot m_2=-1\)</div>
- Función cuadrática: <h3>Función cuadrática</h3> <div class="gm-def">\(f(x)=ax^2+bx+c\) con \(a\neq0\) — gráfica: parábola.</div> <b>Vértice</b> (punto más alto/bajo): <div class="gm-formula">\[x_v=-\dfrac{b}{2a},\qquad y_v=f(x_v)\]</div> <b>Raíces (fórmula cuadrática):</b> <div class="gm-formula">\[x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]</div> <b>Discriminante \(\Delta=b^2-4ac\):</b> <ul> <li>\(\Delta>0\): dos raíces reales distintas</li> <li>\(\Delta=0\): una raíz doble</li> <li>\(\Delta<0\): sin raíces reales</li> </ul> <div class="gm-tip">⚡ <b>Vieta:</b> \(r_1+r_2=-b/a\) y \(r_1\cdot r_2=c/a\) — útil para factorizar sin calculadora.</div>