Función cuadrática: vértice, ceros y gráficos | Matemática M1 PAES

<h3>Función cuadrática</h3> <div class="gm-def">\(f(x)=ax^2+bx+c\) con \(a\neq0\) — gráfica: parábola.</div> <b>Vértice</b> (punto más alto/bajo): <div class="gm-formula">\[x_v=-\dfrac{b}{2a},\qquad y_v=f(x_v)\]</div> <b>Raíces (fórmula cuadrática):</b> <div class="gm-formula">\[x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]</div> <b>Discriminante \(\Delta=b^2-4ac\):</b> <ul> <li>\(\Delta>0\): dos raíces reales distintas</li> <li>\(\Delta=0\): una raíz doble</li> <li>\(\Delta<0\): sin raíces reales</li> </ul> <div class="gm-tip">⚡ <b>Vieta:</b> \(r_1+r_2=-b/a\) y \(r_1\cdot r_2=c/a\) — útil para factorizar sin calculadora.</div>

Función cuadrática

Una función cuadrática tiene la forma (f(x)=ax^2+bx+c). Su gráfico es una
parábola: abre hacia arriba si (a>0) y hacia abajo si (a<0).

Qué leer en un gráfico

Vértice: máximo o mínimo de la parábola.
Ceros: valores de (x) donde (f(x)=0); son las intersecciones con el eje x.
Intercepto con y: (f(0)=c).
Eje de simetría: (x=-b/(2a)).

Ejemplo PAES

Para (f(x)=x^2-4x+3), los ceros son 1 y 3, el vértice está en (x=2)
y (f(2)=-1). Por eso el vértice es ((2,-1)) y la parábola abre hacia
arriba.

Al cambiar (a), cambia la apertura; al cambiar (c), el gráfico se mueve
verticalmente. Usa una tabla de valores pequeña para comprobar tu lectura.

Resolver (ax^2+bx+c=0)

Si se puede factorizar, iguala cada factor a cero: (x^2-5x+6=(x-2)(x-3)),
así que las raíces son 2 y 3. En los demás casos usa
(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}). Las raíces son los ceros de la gráfica.

Errores comunes

Confundir los ceros con el valor de (c).
Olvidar que el signo de (a) determina la apertura.
Resolver una ecuación sin interpretar después el gráfico o el contexto.