Concepto principal
Una expresión algebraica usa letras (variables) para representar números desconocidos. Permite generalizar situaciones matemáticas. Los polinomios son expresiones con sumas de términos de la forma axⁿ.
Las expresiones algebraicas son la base del álgebra PAES: todo lo que viene después (ecuaciones, funciones, geometría analítica) usa este lenguaje.
Definiciones clave
Monomio: un solo término → 3x², -5ab, 7
Polinomio: suma de monomios → 2x² + 3x - 1
Grado del polinomio: el mayor exponente → 2x³ + x tiene grado 3
Término semejante: misma variable con mismo exponente → 3x² y -x² son semejantes
Coeficiente: número que multiplica la variable → en 5x³, el coeficiente es 5
Operaciones
Suma y resta: combinar términos semejantes
(3x² + 2x - 1) + (x² - 5x + 4) = 4x² - 3x + 3
Multiplicación de polinomios
Multiplica cada término del primero por cada término del segundo.
(x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6
Productos notables (apréndelos de memoria)
| Nombre | Fórmula | Ejemplo |
|---|---|---|
| Cuadrado de la suma | (a+b)² = a²+2ab+b² | (x+3)² = x²+6x+9 |
| Cuadrado de la diferencia | (a-b)² = a²-2ab+b² | (x-4)² = x²-8x+16 |
| Diferencia de cuadrados | (a+b)(a-b) = a²-b² | (x+5)(x-5) = x²-25 |
Factorización
Factorizar es escribir un polinomio como producto. Es la operación inversa a multiplicar.
Factor común
6x² + 9x = 3x(2x + 3)
Factorizar usando productos notables
- x² + 6x + 9 = (x+3)² (cuadrado de la suma)
- x² - 25 = (x+5)(x-5) (diferencia de cuadrados)
Factorizar trinomio x² + bx + c
Busca dos números que sumen b y multipliquen c.
- x² + 5x + 6 → busca dos números que sumen 5 y multipliquen 6 → 2 y 3
- Resultado: (x+2)(x+3)
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 — Simplificar
Simplifica: (2x + 3)² - (2x - 3)²
Solución:
(2x+3)² = 4x²+12x+9
(2x-3)² = 4x²-12x+9
Resta: (4x²+12x+9) - (4x²-12x+9) = 24x
Resultado: 24x
Ejemplo 2 — Factorizar
Factoriza: x² - 7x + 12
Solución:
Busco dos números que sumen -7 y multipliquen 12.
Pruebo: -3 y -4 → (-3)+(-4)=-7 ✓ y (-3)×(-4)=12 ✓
Resultado: (x - 3)(x - 4)
Errores comunes
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Error 1 — Cuadrado de la suma: Calcular (a+b)² = a²+b². El término del medio 2ab siempre aparece.
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Error 2 — Combinar no semejantes: Sumar 3x² + 2x como si fueran semejantes. No lo son: tienen distinto exponente.
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Error 3 — Signos en factorización: En x²-5x+6, los factores son (x-2)(x-3) no (x+2)(x+3).