Concepto principal
Una potencia es una multiplicación repetida. Escribimos aⁿ para indicar que a se multiplica por sí mismo n veces. La raíz cuadrada es la operación inversa: busca qué número, multiplicado por sí mismo, da el valor dado.
Aparecen constantemente en geometría (áreas, Pitágoras), álgebra y en expresiones con notación científica.
Definiciones clave
Potencia: aⁿ = a × a × a × ... (n veces)
- Base: a
- Exponente: n
Potencia cero: a⁰ = 1 (para todo a ≠ 0)
Potencia negativa: a⁻ⁿ = 1/aⁿ
Raíz cuadrada: √a = b si b² = a (con b ≥ 0)
Raíz cúbica: ∛a = b si b³ = a
Propiedades de potencias
| Propiedad | Fórmula | Ejemplo |
|---|---|---|
| Producto (misma base) | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| Cociente (misma base) | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 5⁶ ÷ 5² = 5⁴ = 625 |
| Potencia de potencia | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (3²)³ = 3⁶ = 729 |
| Potencia de producto | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | (2×3)² = 4×9 = 36 |
| Potencia de cociente | (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ | (2/3)² = 4/9 |
| Exponente negativo | a⁻ⁿ = 1/aⁿ | 2⁻³ = 1/8 |
| Exponente cero | a⁰ = 1 | 7⁰ = 1 |
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 — Simplificar expresión con potencias
Simplifica: (3² × 3⁴) ÷ 3³
Solución:
Numerador: 3² × 3⁴ = 3²⁺⁴ = 3⁶
Resultado: 3⁶ ÷ 3³ = 3⁶⁻³ = 3³ = 27
Ejemplo 2 — Raíz cuadrada en contexto
El área de un cuadrado es 144 cm². ¿Cuánto mide su lado?
Solución:
Lado = √144 = 12 cm
(porque 12² = 144)
Ejemplo 3 — Raíces cuadradas perfectas comunes
√1=1, √4=2, √9=3, √16=4, √25=5, √36=6, √49=7, √64=8, √81=9, √100=10, √121=11, √144=12
Errores comunes
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Error 1 — Potencia de suma: Creer que (a+b)² = a² + b². Incorrecto. (a+b)² = a² + 2ab + b².
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Error 2 — Base negativa: (-2)² = 4 (el exponente aplica a -2) pero -2² = -4 (solo 2 está elevado). Atención a los paréntesis.
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Error 3 — Sumar exponentes en lugar de multiplicar: (3²)⁴ ≠ 3⁶. Es 3² × ⁴ = 3⁸.
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Error 4 — Raíz de suma: √(9+16) ≠ √9 + √16 = 3+4 = 7. Lo correcto es √25 = 5.