Concepto principal
Los números enteros incluyen todos los números sin parte decimal: los positivos (1, 2, 3...), el cero y los negativos (-1, -2, -3...). Los números racionales son todos los que se pueden expresar como fracción p/q, donde p y q son enteros y q ≠ 0.
Todo número entero es también racional (por ejemplo, 5 = 5/1). Sin embargo, no todo racional es entero (1/2 no lo es).
En PAES aparecen frecuentemente en problemas de temperatura, deudas, alturas, saldos bancarios y comparación de magnitudes.
Definiciones clave
Número entero (ℤ): {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Número racional (ℚ): Todo número de la forma p/q con p, q ∈ ℤ y q ≠ 0. Incluye fracciones, decimales exactos y decimales periódicos.
Valor absoluto: |a| = distancia de a al cero en la recta numérica. Siempre es ≥ 0.
- |5| = 5
- |-5| = 5
- |0| = 0
Opuesto de un número: El opuesto de a es -a. La suma de un número y su opuesto siempre es 0.
Operaciones con enteros
Suma y resta
- Mismo signo: se suman los valores absolutos y se conserva el signo.
- Signos distintos: se restan los valores absolutos y se toma el signo del mayor.
Ejemplos:
- (-5) + (-3) = -8
- (-7) + 4 = -3
- 3 - (-2) = 3 + 2 = 5
Multiplicación y división
- Mismo signo → resultado positivo
- Signos distintos → resultado negativo
| × o ÷ | Positivo | Negativo |
|---|---|---|
| Positivo | + | - |
| Negativo | - | + |
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 — Contexto de temperatura
La temperatura mínima de un día fue -8°C y la máxima fue 5°C. ¿Cuántos grados aumentó la temperatura?
Solución:
Aumento = temperatura máxima - temperatura mínima
Aumento = 5 - (-8) = 5 + 8 = 13°C
Ejemplo 2 — Comparación de racionales
¿Cuál es mayor: -2/3 o -3/4?
Solución:
Convierte ambos a decimales:
- -2/3 ≈ -0,667
- -3/4 = -0,75
En la recta numérica, -0,667 está a la derecha de -0,75.
Por lo tanto, -2/3 > -3/4.
Regla: Entre dos números negativos, el de menor valor absoluto es el mayor.
Fórmulas importantes
| Concepto | Fórmula | Ejemplo |
|---|---|---|
| Valor absoluto | |a| = a si a ≥ 0; |a| = -a si a < 0 | |-7| = 7 |
| Opuesto | opuesto(a) = -a | opuesto(-3) = 3 |
| Mismo signo × | (+)(+) = + o (-)(-) = + | (-4)(-3) = 12 |
| Dist. signos × | (+)(-) = - | (5)(-2) = -10 |
Errores comunes
-
Error 1 — Restar negativos: Confundir 3 - (-5) con 3 - 5. Recuerda: restar un negativo es sumar. 3 - (-5) = 3 + 5 = 8.
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Error 2 — Comparar negativos: Creer que -10 > -2 porque 10 > 2. En negativos, el número más grande en valor absoluto es el menor. -10 < -2.
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Error 3 — Valor absoluto: Pensar que |-3 + 5| = |-3| + |5|. Esto es falso. |-3 + 5| = |2| = 2, pero |-3| + |5| = 8.